Основные этапы построения решения

Дифференциальные уравнения решаются численно методом Рунге-Кутта.

Чтобы выписать уравнения Кирхгофа для произвольной трубопроводной сети целесообразно привлечь теорию графов.

Топология трубопроводной сети моделируется с помощью ориентированного графа, причем дуги графа соответствуют участкам труб и элементам, имеющим гидравлическое сопротивление, а вершины графа соответствуют концам труб (и точкам их соединения).

Пусть A - матрица инцидентности (точнее базисная подматрица матрицы инцидентности, которая получается из полной матрицы инцидентности в результате отбрасывания какой-нибудь строки - обычно последней). Тогда первый закон Кирхгофа, утверждающий, что сумма расходов, втекающих и вытекающих в любой узел равна нулю, можно записать в виде матричного уравнения

Рисунок 176.


Для записи второго закона Кирхгофа используется матрица базисных циклов В. Эту матрицу можно получить в результате следующей процедуры. Выберем какое-нибудь остовное дерево графа (для ускорения процессов сходимости итерационных процессов решения нелинейных уравнений Кирхгофа рекомендуется выбирать дерево с наименьшим гидравлическим сопротивлением). Выбор остовного дерева (базисного минора матрицы инцидентности) разбивает дуги графа на ветви и хорды, при этом соответствующие расходы разбиваются на базисные и свободные. С учетом этого разбиения уравнение первый закон Кирхгофа можно переписать в виде:

Рисунок 177.


Здесь At и Ac - квадратная и прямоугольная матрицы, составленные соответственно из базисных столбцов (индекс t от английского слова tree - древо) и остальных (индекс с от английского слова chord - хорда).

Выразим базисные переменные через свободные:

Рисунок 178.


Можно показать, что матрица базисных циклов, соответствующая выбранному остовному дереву имеет вид:

Рисунок 179.


Второй закон Кирхгофа, утверждающий, что сумма падений давления, с учетом действующих напоров, по любому замкнутому контуру равна нулю, можно записать в виде:

Рисунок 180.


Здесь - матрица-столбец, составленная из падений давления на каждом из участков трубопроводной сети, E матрица-столбец, составленная из действующих напоров на каждом из участков трубопроводной сети.

Уравнение (1.7) является нелинейным даже в простейшем случае гидравлической сети (в случае гидравлической сети при решении нелинейных уравнений помогает метод Ньютона). В случае паропроводов компоненты векторы определяются из решения системы дифференциальных уравнений, причем решения не являются гладкими функциями. Излом решения образуется в точке появления конденсата. С учетом этих замечаний для решения нелинейных уравнений применим метод минимизации невязок. Введем вектор невязок (residual vector)

Рисунок 181.


и вычислим норму, например евклидову (в конечномерном случае все нормы эквивалентны), этого вектора:

Рисунок 182.